Egwald Wirtschaft: Mikroökonomie Egwalds beliebte Web-Seiten sind ohne Kosten für die Nutzer zur Verfügung gestellt. Bitte zeigen Sie Ihre Unterstützung durch den Beitritt von Egwald Web Services als Facebook-Fan: Folgen Sie Elmer Wiens auf Twitter: Mit den Cobb-Douglas - und CES-Produktionsfunktionen habe ich eine explizite Kostenfunktion, die Gesamtkosten als Funktion von q, wL, wK und WM, durch Minimierung der Herstellungskosten eines gegebenen Ausgangswertes. Weil die Translog-Produktionsfunktion viel allgemeiner ist (sie hat eine flexible Funktionsform, die es erlaubt, daß die Teilelastizitäten der Substitution zwischen den Eingängen variieren), wird die numerische Analyse verwendet, um die mit einer gegebenen Translog-Produktionsfunktion verbundenen Kostenfunktionen zu erhalten. C. Translog (Transcendental Logarithmic) Produktionsfunktion Die dreifaktive Translog-Produktionsfunktion ist: ln (A) aLln (L) aKln (K) aMln (M) bLLn (L) ln (L) bKKln (K) ln (L) ln (K) bLMln (L) ln (M) bKMln (K) ln (M) f (L, K, M). Wo L Arbeit, K Hauptstadt, M Materialien und Lieferungen, und q Produkt. I. Um Schätzungen der Translog-Produktionsfunktion zu erhalten, verwenden wir die CES-Produktionsfunktion, um eine Folge von Beobachtungen zu erzeugen, die die CES-Kleinstfaktoreingaben zu Faktorpreisen und Produktionsniveaus betreffen. Die drei Faktoren CES-Produktionsfunktion ist: q Ein Alpha (L-rho) beta (K-rho) gamma (M-rho) (-nurho), wobei L Arbeit, K Kapital, M Materialien und Lieferungen und q Produkt. Der Parameter nu ist ein Maß für die Skaleneffekte, während der Parameter rho die Elastizität der Substitution liefert: sigma 1 (1 rho). Die geschätzten Koeffizienten der Translog-Produktions - und Kostenfunktionen variieren mit den Parametern sigma, nu, alpha, beta und gamma der CES-Produktionsfunktion. Setzen Sie die folgenden Parameter, um sie mit Ihren eigenen CES-Parametern neu zu starten. Beschränkungen. 7 1 8594 Eingangssubstitute Die CES-Produktionsfunktion wie angegeben: q 1 0,35 (L - 0,167647) 0,4 (K - 0,167647) 0,25 (M - 0,167647) (-10,167647) II. Abschätzen der Translog Produktionsfunktion mehrere Regression ergab folgende Koeffizientenschätzungen: lnA 6.0E-6 aL 0,349891 aK 0,399994 aM 0,250116 BLL -,019666 bkk -,021337 BMM -,016437 Blk 0,024565 blm 0,014766 BKM 0,018108 aL aK aM 1 2 BLL Blk BLM 0 2 bkk Blk BKM 0 2 BMM BLM BKM 0 Die geschätzte Translog Produktionsfunktion: ln (q) 6.0E-6 0,349891 ln (L) 0,399994 ln (K) 0,250116 ln (M) -,019666 ln (L) ln (L) -,021337 (K) ln (K) -0,016437 ln (M) ln (M) 0,024565 ln (L) ln (K) 0,014766 ln (K) ln (M) f (L, K) , M). Die Elastizität der Umfang der Produktion: Long Run: Capital Variable: 949 LKM 949 (L, K, M) aL aK aM (2bLL Blk BLM) ln (L) (2bKK Blk BKM) ln (K) (2bMM BLM BKM) ln ( M). Kurzfassung: Captial Fixed: K K: 949 L K M 949 (L, K, M) aL aM (2bLL bLM) ln (L) (bLK bKM) ln (K) (2bMM bLM) ln (M). Die Translog-Produktionsfunktion q F (L, K, M) exp (f (L, K, M)) ist konkav zum Ursprung des dreidimensionalen Raums, wenn sein Hessian negativ ist Halb) bestimmt. Definieren Sie die Matrizen h 1. H 2. Und h 3. Der Hessen von F (L, K, M) ist negativ, wenn die Determinanten h 1, h 2 und h 3 im Zeichen abwechseln, beginnend mit negativ. Wenn eine oder mehrere Determinanten einen Nullwert haben, dann ist der Hessen von F (L, K, M) negativ semidefinit und F (L, K, M) ist quasi-konkav zum Ursprung des dreidimensionalen Raumes von (L, K, M). Die Krümmung der geschätzten Translog-Produktionsfunktion hängt von der Elastizität der Substitution, Sigma, der CES-Produktionsfunktion ab. (L, K, M) ist nicht konkav zum Ursprung des dreidimensionalen Raumes von (L, K, M), sigma 1 nu 1 8594 F (L, K, M) ist konkav zum Ursprung Des dreidimensionalen Raums von (L, K, M), Überprüfen Sie die angezeigten Krümmungsbedingungen auf andere Werte von sigma, nu, alpha, beta und gamma. III. Least-Cost-Kombination von Inputs Der Unternehmer, das Management und die Mitarbeiter des Profitmaximierungsunternehmens wählen die Faktoranteile und - größen sowie die Produktionsniveaus unter Berücksichtigung der Faktoreinnahmen und Produkte. Für jede spezifizierte Kombination von positiven Faktorpreisen wL, wK und wM wird die Kombination der Faktoreingaben L, K und M die Kosten der Erzeugung eines beliebigen positiven Ausgangssignals minimieren, q Äquivalent: Die Werte von L finden , K, M und Mikro, die den Lagrangeschen minimieren, wenn die Faktorpreise wl, wK und wM: G (qL, K, M, M), oder äquivalent, die das Lagrange-G (qL, K, M, micro) - G (qL, K, M, micro) maximieren. G (qL, K, M, Mikro) - (wL L wK K wM M) - Mikro q - exp (f (L, K, M)). Erste Ordnungsbedingungen: Um die Gleichungen 0. bis 3. numerisch zu lösen, verwendete ich für gegebene q, wL, wK und wM die Bedingungen erster Ordnung 0. bis 3. und die zugehörigen Jacobian. (L, K, M)): Das Lagrange-G (qL, K, M, micro) erhält ein Maximum bei q, L, K und M, wenn die umgrenzte, hauptsächliche kleinere Determinante H 2 positiv ist und die umgrenzte Determinante H 3 negativ ist. (Siehe nachstehende Tabelle und die mathematischen Anmerkungen.) IV. Lange Laufzeit: Kapitalvariable. Angenommen, die Firma kauft ihre Inputs zu den Preisen: wL 7 wK 13 nbsp wM 6. Bei der Lösung des kostengünstigsten Problems können wir die CES-Kostendaten mit den geschätzten Translog-Kostendaten vergleichen, wie in der folgenden Tabelle dargestellt. Die Begriffe s LK. S LM. Und s KM die Allen-Teilelastizitäten der Substitution sind. Translog Long Run Kostendaten Gibt 1 maßstabsSubstitutionsElastizität 0,85 wL 7, 13 wk, wM 6 mdash CES Daten mdash mdash mdash Geschätzte Translog Daten mdash mdash Die Lagrange-Verfahren zur Gewinnung des Least-Cost-Kombination von Eingaben, die Renditen Werte für die Lösungsvariablen micro. L, K und M für spezifizierte Werte von q, wL, wK und wM. Das heißt, die Lösungsvariablen sind Funktionen: Mikro-Mikro (q wL, wK, wM), LL (q wL, wK, wM), K K (q wL, wK, wM), M M (q wL, wK, wM). Die Lagrange-Methode erzeugt auch die Jacobische Matrix (umgrenzte Hessische von G - G) der vier Funktionen, G micro. G L. G K. G M. In Bezug auf die Wahlvariablen x3BC, L, K und M: Die Jacobi-Matrix der vier Lösungsfunktionen x3A6 micro. L K. M in Bezug auf die Variablen q, wL, wK und wM gleich dem Negativ der Matrixinverse von J 3 ist. Was die Vergleichsstatik der Lösungsfunktionen ergibt. Zum Beispiel sind bei q 30, wL 7, wK 13 und nbsp wM 6: Die Uzawa-Teilelastizitäten der Substitution bei denselben Werten von q, wL, wK und wM: Der Faktor erfordert Elastizitäten bei denselben Werten von q, wL , WK und wM: wobei beispielsweise epsilon L, wK partln (L (q wL, wK, wM)) partln (wK) (partln (L (q wL, wK, wM) Die Kostenfunktion C (qwL, wK, wM) ist ein konkaven Faktorpreis. Die Kostenfunktion C (qwL, wK, wM) Wenn die Hessische Matrix 8711 2 ww C (qwL, wK, wM) partieller Ableitungen zweiter Ordnung in Bezug auf Faktorkosten negativ semidefinit ist. Die Matrix 8711 2 ww C (qwL, wK, wM) ist negativ semidefinit, wenn ihre Eigenwerte nichtpositiv sind. Die Eigenwerte von 8711 2 ww C sind e1 -4.4778, e2 -2.7932 und e3 0. V. Kurzer Verlauf: Kapitalfest: K K 24.41. Lassen Sie die Firma ihre Eingänge zu den gleichen Preisen kaufen: wL 7 wK 13 nbsp wM 6. Stellen Sie das Niveau des Kapitals auf der niedrigsten Kostenebene für q 30 ein. Lösen Sie das kostengünstigste Problem, das Kapital fest hält, können wir das kurzfristige vergleichen CES-Kostendaten mit den geschätzten Translog-Short-Run-Cost-Daten, wie in der folgenden Tabelle dargestellt. Die Lagrange-G (qL, K, M, micro) erhält ein Maximum bei q, L, K. Und M, wenn die umgrenzte Determinante H 2 positiv ist. Die Translog-Produktionsfunktion F (L, K. M) ist konkav zum Ursprung des 2-dimensionalen Raums (L, M), wenn h 1 0. (Siehe nachstehende Tabelle und die mathematischen Anmerkungen) Translog Short Run Cost Data Returns to Scale 1, Elastizität der Substitution 0.85 wL 7, wK 13, wM 6 K 24.41 mdash CES Daten mdash mdash mdash Geschätzte Translog-Daten mdash mdash Wir erhalten eine U-förmige, kurzfristige durchschnittliche Kostenkurve, mit Kapital fixiert. Die kurzfristige Durchschnittskostenkurve ist (ca.) tangential zur langfristigen Durchschnittskostenkurve bei q 30. Die Elastizität der Skala, 949 LKM. Ist entlang der kurzfristigen Durchschnittskostenkurve konstant und entspricht der Langzeit-Elastizität der Skala, 949 LKM. Die Kurzzeit-Elastizität der Skala mit dem auf K 24.41 fixierten Kapital ist eine abnehmende Funktion entlang der kurzfristigen Durchschnittskostenkurve, da sigma kleiner als 1 ist. Hier habe ich zwei Maßnahmen der Kurzstreckenelastizität der Substitution zwischen L und M aufgeführt Das 3-Faktor-Maß von s LM verwendet die Allen-Teilelastizität der Substitutionsformel. Das 2-Faktor-Maß von s LM verwendet die Standard-Kurzlaufformel, die davon ausgeht, dass nur L und M mit dem Ausgang variieren können, wobei eine feste Kapitalmenge vorhanden ist. Eine andere Möglichkeit wäre, eine Zwei-Faktor-Produktionsfunktion q F (L, M) abzuschätzen und dann s LM zu berechnen. Dann ist das Kapital K eine fehlende Variable aus der Schätzung, die die Schätzwerte der Koeffizienten der Produktionsfunktion F verschiebt. Die Lagrange-Methode zur Gewinnung der kostengünstigsten Kombination von Inputs liefert Werte für die Lösungsvariablen micro. L und M für spezifizierte Werte von q, wL, wK und wM. Das heißt, die Lösungsvariablen sind Funktionen: Mikromikro (q wL, wK, wM), LL (q wL, wK, wM), M M (q wL, wK, wM). Die Lagrangesche Methode erzeugt auch die Jacobische Matrix (umgrenzte Hessische von G - G) der drei Funktionen, G micro. G L. G M. In Bezug auf die Auswahlvariablen x3BC, L und M: Die Jacobi-Matrix der drei Lösungsfunktionen x3A6 micro. L M in Bezug auf die Variablen q, wL, wK und wM gleich dem Negativ der Matrix-Inverse von J 2 ist. Was die Vergleichsstatik der Lösungsfunktionen ergibt. Zum Beispiel sind bei q 30, KK 24.41, wL 7, wK 13 und nbsp wM 6: Die Faktorbedarfselastizitäten bei q 30, wL 7, wK 13 und nbsp wM 6. wo zum Beispiel epsilon L, wM partln (WL, wK, wM)) (partieller Wert (wM, wM, wM)) partln (wM) (partln (L (q wL, wK, wM) (Ww, wK, wM) ist eine konkave Faktorpreise, wenn die hessische Matrix 8711 2 ww C (qwL, wK, wM, wK, wM) ) Partieller Ableitungen zweiter Ordnung in Bezug auf Faktorkosten negativ semidefinit ist. Die Matrix 8711 2 ww C (qwL, wK, wM) ist negativ semidefinit, wenn ihre Eigenwerte nichtpositiv sind. Die Eigenwerte von 8711 2 ww C sind e1 -4.4764 und e2 0. Diagramm der Durchschnittskosten und Grenzkosten Translog Kosten Produktionsfunktionen - Capital Fixed Average Kostenfunktion Grenzkostenfunktion L. R. Durchschnittliche Kostenfunktion VI. Lange Laufzeit: Kapitalvariable. Lassen Sie uns den Preis von M, Materialien und Zubehör zu erhöhen. Nun kauft die Firma ihre Inputs zu den Preisen: wL 7 wK 13 nbsp wM 7. Bei der Lösung des kostengünstigsten Problems können wir die CES-Kostendaten mit den geschätzten Translog-Kostendaten vergleichen, wie in der folgenden Tabelle dargestellt. Die Begriffe s LK. S LM. Und s KM die Allen-Teilelastizitäten der Substitution sind. Translog Long Run Cost Daten Zurück zur Skala 1, Elastizität der Substitution 0,85 wL 7, wK 13, wM 7 VII. Kurzgefasst: Kapital Fixed: K K 25.23. Lassen Sie das Unternehmen seine Eingänge zu den gleichen (wM erhöhten) Preisen kaufen: wL 7 wK 13 nbsp wM 7. Setzen Sie das Niveau des Kapitals auf die niedrigste Kostenebene für q 30: dann. Um das kostengünstigste Problem zu lösen, das Kapital festhält, können wir die kurzfristigen CES-Kostendaten mit den geschätzten Translog-Short-Run-Cost-Daten vergleichen, wie in der folgenden Tabelle dargestellt. (Siehe die Diskussion der Kurzzeit-Elastizität der Substitution, s LM.) Translog Short Run Cost Daten Zurück zur Skala 1, Elastizität der Substitution 0.85 wL 7, wK 13, wM 7 K 25.23 mdash CES Daten mdash mdash mdash Geschätzt Translog Data mdash mdash Wir erhalten eine U-förmige, kurzfristige durchschnittliche Kostenkurve, mit Kapital fixiert. Die kurzfristige Durchschnittskostenkurve ist (ca.) tangential zur langfristigen Durchschnittskostenkurve bei q 30. Die Elastizität der Skala, 949 LKM. Ist entlang der kurzfristigen Durchschnittskostenkurve konstant und entspricht der Langzeit-Elastizität der Skala, 949 LKM. Die kurzfristige Elastizität der Skala mit dem auf K 25.23 festgesetzten Kapital ist eine abnehmende Funktion entlang der kurzfristigen Durchschnittskostenkurve, da Sigma kleiner als 1 ist. Graph von Durchschnittskosten und Grenzkosten Translog Kosten Produktionsfunktionen - Kapital Fix Durchschnittliche Kostenfunktion Grenzkosten Funktion LR Durchschnittliche Kostenfunktion Ein gegebener Ausgangswert q q. Kann durch verschiedene Kombinationen von Faktoreingängen L, K und M erzeugt werden. Festlegung des Produktausgangsniveaus bei q q. Erhalten wir eine Gleichung aus der Translog-Produktionsfunktion: ln (q) ln (A) aLln (L) aKln (K) aMln (M) bLLn (L) (M) bLKln (L) ln (K) bLMln (L) ln (M) bKMln (K) ln (M) f (L, K, M). Für die dreidimensionale isoquant Oberfläche, wenn q q. Die Isoquantenoberfläche ist tangential zu der Isokosenebene: C (q) wL L wK K wM M auf der kostenminimierenden Kombination von Faktoreingängen (L, K, M) (L. K.M). Man betrachte die Translog-Produktionsfunktion wie folgt: ln (q) 6.0E-6 0.349891 ln (L) 0.399994 ln (K) 0.250116 ln (M) -0.019666 ln (L) ln (L) -0.021337 ln (K) K) -0,016437 ln (M) ln (M) 0,024565 ln (L) ln (K) 0,018768 ln (K) ln (M) Wenn q30 und (wL, wK, wM) (7, 13, 6) die Kostenminimierungseingaben sind: C (30) 7 36,89 13 24,41 6 31,59 765,17. Um die Translog-Gleichung für L, K und M wiederum zu lösen, erhalten wir drei Gleichungen für die dreidimensionale Isoquantenoberfläche. Durch Fixieren der Eingangsgröße für einen Faktor in diesen Gleichungen erhalten wir drei zweidimensionale Isoquantenkurven. Erstens, betrachten die L-K Isoquant. Set M M. (A) - aL log (L) - aM log (M) - bLL log (L) log (M) - bMM log (M) log (M) - bLM log (L) log (M). Das L-K-Isoquant, ausgedrückt als K als Funktion von L: K exp ((-b sqrt (bb4ac)) (2a)). Zweitens betrachten die L-M Isoquant. Set K K. (L) log (L) log (L) - log (A) - aL log (L) - aK log (K) - bLL log (L) - bKK log (K) log (K) - bLK log (L) log (K). Das L-M-Isoquant, ausgedrückt als M als Funktion von L: M exp ((-b sqrt (bb4ac)) (2a)). Die folgenden Diagramme zeigen, in blau, die L-K - und L-M-Isoquanten für q 24, 30 und 36. Die gelben Linien stellen die Isocostlinien dar. Kombinationen von L, K und M, die zu konstanten Gesamtkosten zu den Preisen wL 7, wK 13 und wM 6 erworben werden können. Die Steigung einer LK-Isocostlinie ist m K - wL wK -7 13 die Steigung von a LM-Isocost-Linie ist m M - wL wM -7 6. Für q 30 weist die LK-Isocostlinie einen K-Intercept bei (C (30) - wM M) wK (765.17 - 6 31.59) 13 44.28 auf, während der LM-Isocost Linie hat einen M-Schnitt bei (C (30) - wK K) wM (765,17 - 13 24,41) 6 74,63. Für q 30 ist der L-K-Isoquant tangential zu der L-K-Isocostlinie bei (L. K) (36.89, 24.41), während der L-M-Isoquant tangential zur L-M-Isocostlinie bei (L. M) (36.89, 31.59) ist. Der Hessische von F (L, K, M) ist negativ, wenn die Determinanten h 1, h 2 und h 3 abwechselnd im Zeichen, beginnend mit negativ, auftreten. Wenn eine oder mehrere Determinanten einen Nullwert haben, dann ist der Hessen von F (L, K, M) negativ semidefinit und F (L, K, M) ist quasi-konkav zum Ursprung des dreidimensionalen Raumes von (L, K, M). II. Die partiellen Ableitungen von f (L, K, M) fL (L, K, M) (1L) aL 2 bLL ln (L) bLK ln (K) bLM ln (M) (1L) vL, f K (L (L) bKM ln (M) (1K) vK, fM (L, K, M) (1M) aM & sub2; bMM ln (M) bLM Ln (L) bKM ln (K) (1M) vM, III. Die am wenigsten kostengünstige Kombination von Inputs: Finden Sie die Werte von L, K, M und Micro, die den Lagrangeschen minimieren, wenn die Faktorpreise wL, wK und wM: G (qL, K, M, micro) wL L wK K sind (QL, K, M, micro) - G (qL, K, M, m)) oder gleichermaßen maximieren. G (qL, K, M, Mikro) - (wL L wK K wM M) - Mikro q - exp (f (L, K, M)). Erste Auftragsbedingungen: IV. Die am wenigsten kostengünstige Kombination von Inputs: Capital fixed: Mit dem Wert des Kapitalwertes fixiert auf K K. Die Werte von L, M und Micro zu minimieren, die die Lagrangeschwingung minimieren, wenn die Faktorpreise wl, wK und wM: G (qL, K, M, Mikro) wL L wK K wM M micro q - exp (f (L , K, M)) oder äquivalent, die das Lagrange-G (qL, K, M, micro) - G (qL, K, M, micro) maximieren. Erste Auftragsbedingungen: K K Jacobian zweiter Auftragsbedingungen: K K. (L, K, M) exp (f (L, K, M)): V. Allen Teilelastizität der Substitution Schreiben der Produktionsfunktion als q F (L, K, M), lassen Sie die eingegrenzten Hessian sei: Ist F die Determinante des umgrenzten Hessischen und F LK der mit F LK assoziierte Kofaktor. Dann ist die Allen-Elastizität der Substitution definiert als: VI. Zwei Faktorelastizität der Substitution Die Produktionsfunktion sei q F (L, K, M), wobei K unterstrichen ist, um anzuzeigen, daß es kurzzeitig konstant ist. Dann sind die beiden Faktoren (L und M) an Hessian grenzt: Die 2-Faktor-Elastizität der Substitution zwischen L und M ist: Egwald Economics: Microeconomics Egwalds populäre Webseiten werden ohne Kosten für die Nutzer bereitgestellt. Bitte zeigen Sie Ihre Unterstützung durch den Beitritt von Egwald Web Services als Facebook-Fan: Folgen Sie Elmer Wiens auf Twitter: Im Oligopol-Regierungsunternehmensmodell habe ich jede Firma kurzfristige Kostenfunktion aus einer quadratischen, langfristigen, durchschnittlichen Kostenfunktion abgeleitet. Jetzt werde ich zeigen, wie Kostenfunktionen aussehen, wenn sie aus einer Produktionsfunktion erhalten werden. Es sei daran erinnert, dass eine Produktionsfunktion Ausgangswerte für Kombinationen von Eingaben erzeugt. Eine gewinnmaximierende Firma wird versuchen, eine Kombination von Eingaben zu verwenden, die die Kosten für die Erzeugung eines gegebenen Ausgangswertes minimiert. A. Cobb-Douglas Produktionsfunktion Wenn Sie dies noch nicht getan haben, schauen Sie, wie die Parameter einer Cobb-Douglas-Produktionsfunktion abgeschätzt werden können: Schätzen einer Cobb-Douglas-Produktionsfunktion. Die drei Faktor Cobb-Douglas Produktion Funktion ist: wo L Arbeit, K Hauptstadt, M Materialien und Lieferungen und q Produkt. Die Symbolmittel erhöhen die Leistung, d. h. L alpha-Mittel erhöhen den Wert von L auf die Leistung des Werts von alpha. Produktionsfunktionen müssen bestimmte Eigenschaften haben, um sicherzustellen, dass wir das kostengünstigste Problem lösen können: Überprüfen Sie eines der vielen Lehrbücher. Ist für gegebene Werte von L, K und M der Hessische der Produktionsfunktion f negativ. Dann sind seine Isoquanten an diesem Punkt konkav zum Ursprung. I. Kürzere Skalenerträge: alpha beta gamma alpha) (K beta) (M gamma) - q 1.01278 (L.317) (K.417) (M.186) Angenommen, die Firma kann ihre Faktoren zu den Preisen kaufen: WL 7, wK 13, wM 6. Die Kosten dafür sind: c (q) wL L wK K wM M 7 L 13 K 6 L Anschließend werden 35 Produkteinheiten zu minimalen Kosten hergestellt. Sollte es verwenden: L 59.36, K 42.05 und M 40.64 Einheiten von Eingängen. Anmerkungen: 1. 35 1.01278 (59.36 .317) (42.05.417) (40.64.186) 2. c (q) 7 L 13 K 6 M - 1205 7 59.36 13 42.05 6 40.64 3. Durchschnittliche Kosten c (q) Q - 1205,95 35 34,46 Andere Kombinationen von Faktoreingängen erzeugen ebenfalls 35 Geräteeinheiten wie L 74.01, K 37.44 und M 36.19. Diese Kombinationen sind jedoch zu den gegebenen Faktorkosten teurer. Mit diesen ineffizienten Eingangskombinationen: 1. 35 1.01278 (74.01 .317) (37.44.417) (36.19.186) 2. 1221.9 7 74.01 13 37.44 6 36.19 3. Durchschnittskosten 1221.9 35 34.91 Die Eingänge L 59.36, K 42.05 und M 40.64 sind die am wenigsten kostengünstige Kombination von Eingängen, die q 35 Produkteinheiten an den Eingangspreisen wL 7, wK 13 und wM 6 produzieren. Wenn wir für jede realisierbare Produktmenge die Herstellungskosten des Produkts unter Verwendung der Kosten-Minimierung Kombination von Eingaben, erhalten wir die Kostenfunktion, aus denen die durchschnittlichen Kosten und marginale Kosten Funktionen erhalten werden können. Diagramm der Durchschnittskosten und Grenzkosten für eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion II. Steigende Skalenerträge: alpha beta gamma 1 Mit zunehmender Skalensteigerung erhöht sich eine proportionale Erhöhung aller Eingangssignale um mehr als die proportionale Konstante. Unsere Cobb-Douglas-Produktionsfunktion könnte nun die Form haben: q A (L .35) (K .4) (M .3) wobei A 1 und alpha beta gamma .35 .4 .3 1,05 1 Mit den gleichen Faktorkosten wie Bevor wir die Kosten für die Herstellung des Produkts unter Verwendung der kostenminimierenden Kombination von Eingaben, der Erlangung der Kostenfunktion und der durchschnittlichen Kosten - und Grenzkostenfunktionen berechnen. Diagramm der durchschnittlichen Kosten und Grenzkosten für eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion Durchschnittliche Kostenfunktion Grenzkostenfunktion Erhöhung der Skalenerträge Jetzt sehen wir, dass sowohl die durchschnittlichen Kosten als auch die Grenzkosten mit marginalen Kosten unter den durchschnittlichen Kosten eine Folge der steigenden Rendite sind Maßstäblich. Cobb-Douglas-Produktionsfunktionsdaten Steigende Skalierung Wenn wir die beiden obigen Fälle miteinander kombinieren, erhalten wir so etwas wie die U-förmigen Durchschnitts - und Grenzkosten, die ich im Oligopolmodell verwendete. III. Kurzfristig - Kapital fest - abnehmende Skalenerträge Wir gehen in der Regel davon aus, dass das Kapital kurzfristig fixiert ist. Nehmen wir an, dass unsere Firma effizient arbeiten wird (unter Verwendung der kostenminimierenden Kombination von Eingaben), die Produkt im Bereich von 25 bis 35 Einheiten erzeugt (unter Verwendung der rückläufigen Cobb-Douglas-Produktionsfunktion). Es könnte sein Kapital K 35.56, die aus der Tabelle oben, ist die Menge des Kapitals mit der Produktion q 30 Einheiten des Produkts verbunden gesetzt. Grafik der Durchschnittskosten und Grenzkosten Cobb-Douglas-Produktionsfunktion - Kapitalfixe Durchschnittskostenfunktion Grenzkostenfunktion L. R. Durchschnittliche Kostenfunktion Senkung der Skaleneffekte Jetzt erhalten wir die traditionelle U-förmige Mittelkurve, mit einem Minimum von links von q 30. Da Grenzkosten praktisch eine lineare Funktion von q sind, werden die Gesamtkosten (mit Kapital fest) Ist praktisch eine quadratische Funktion von q (da sein Derivat, marginale Kosten, ist linear). Cobb-Douglas Produktionsfunktionsdaten Sinkende Skaleneffekte Fixed Capital Beachten Sie, dass q30 der Punkt ist, an dem kurzfristig (Kapital fest), durchschnittliche Kostenkurve tangential auf lange Sicht, Cobb Douglas durchschnittliche Kostenkurve ist. Ein gegebener Ausgangswert q q. Kann durch verschiedene Kombinationen von Faktoreingängen L, K und M erzeugt werden. Festlegung des Produktausgangsniveaus bei q q. Erhalten wir eine Gleichung aus der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion: für die dreidimensionale Isoquantfläche, wenn q q. Die Isoquantenoberfläche ist tangential zu der Isokosenebene: C (q) wL L wK K wM M auf der kostenminimierenden Kombination von Faktoreingängen (L, K, M) (L. K.M). Betrachten wir noch einmal die spezifische Cobb-Douglas-Produktionsfunktion: Bei q 30 und (wL, wK, wM) (7, 13, 6) sind die kostenminimierenden Eingaben: C (30) 7 50,2 13 35,56 6 34,37 1019,91. Nach der Lösung der Cobb-Douglas-Gleichung für L, K und M erhalten wir: 1. L q (1alpha) (A K beta M gamma) (1alpha). 2. K q (1 & bgr;) (A L alpha M gamma) (1 & bgr;). 3. M q (1 gamma) (A L alpha K beta) (1alpha). Drei Gleichungen für die dreidimensionale Isoquantenoberfläche. Durch Fixierung der Eingangsmenge für einen Faktor erhält man eine zweidimensionale Isoquantenkurve. Als Beispiele für die Befestigung M M in Gleichung 2 und K K in Gleichung 3 erhalten wir: 2. 8594 L-K Isoquant: K q (1beta) (A L alpha M gamma) (1 beta). 3. 8594 L-M Isoquant: M q (1 gamma) (A L alpha K beta) (1alpha). Mit K und M als Funktionen einer Variablen L. Die folgenden Diagramme zeigen in blau die L-K - und L-M-Isoquanten für q 24, 30 und 36. Die gelben Linien stellen die Isocostlinien dar. Kombinationen von L, K und M, die zu konstanten Gesamtkosten zu den Preisen wL 7, wK 13 und wM 6 erworben werden können. Die Steigung einer LK-Isocostlinie ist m K - wL wK -7 13 die Steigung von a LM-Isocost-Linie ist m M - wL wM -7 6. Für q 30 hat die LK-Isocostlinie einen K-Intercept bei (C (30) - wM M) wK (1019,91 - 6 34,37) 13 62,59, während der LM-Isocost Linie hat einen M-Schnitt bei (C (30) - wK K) wM (1019,91 - 13 35,56) 6 92,94. Für q 30 ist der L-K-Isoquant tangential zur L-K-Isocostlinie bei (L. K) (50.2, 35.56), während der L-M-Isoquant tangential zur L-M-Isocostlinie bei (L. M) (50.2, 34.37) ist. L-K Isoquants, M M L-M Isoquants, K K Die roten Strahlen, die vom Ursprung in den Diagrammen ausgehen, schneiden jedes Isoquant im gleichen Winkel. Folglich ist jedes Isoquant eine radiale Projektion von jedem anderen Isoquanten. Insbesondere ist jedes Isoquant eine radiale Projektion der Einheit Isoquant, d. h. das Isoquant für q 1. Produktionsfunktionen mit dieser Eigenschaft werden als homothetische Produktionsfunktionen bezeichnet. Die drei Faktoren Cobb-Douglas Produktion Funktion ist: a. Grenzprodukt der Arbeit. (L, K, M) partL f L alpha A (L (alpha-1)) (Kbeta) (Mgamma) (alphaL) f (L, K, M) b. Grenzkostenfunktion. Wenn (L, K, M) die kostenminimierende Kombination von Eingaben zu Preisen (wL, wK, wM) für die Ausgabe q ist, dann C (q) partCpartq wL (partf (L, K, M) partL) VI. Least-cost Kombination der Eingänge Finden Sie die Werte von L, K, M und Micro, die die Lagrangeschen minimieren: G (qL, K, M, Mikro) wL L wK K wM M micro q - f (L, K, M) Aus den Gleichungen a. B. und C. Erhalten wir: wL wK f L f K alpha L (beta K) - KL beta wL (alpha wK) wL wMf Lf M alpha L (gamma M) - ML gamma wL (alpha wM) wK wM f Kf M beta K (gamma M) Einsetzen von Gleichungen e. Und f In die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion: q AL alpha (LbetawL (alphawk)) beta (LgammawL (alphawM)) gamma Lösung für L ergibt: q (1 (alphabetisch)) (alpha wL) wL alpha wK beta wM gamma (A alpha & Alpha; beta & beta; & gamma; & gamma;) (1 (alphabetagamma)). F. Und h. In die Kostenfunktion: C (q) wL L wk K wM M liefert die Kostenfunktion als Funktion der Leistung in Abhängigkeit von den Inputpreisen und den Parametern der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion. VII. Wenn wir für C (q): C (qwL, wK, wM) h (q) c (wL, wK, wM) explizit lösen, 1 (Alphabetagamma) eine stetige, zunehmende Funktion von q (q 1) mit h (0) 0 und h (1) 1. Die Einheitskostenfunktion lautet: c (wL, wK, wM) B wL alpha wK beta WM gamma (1 (alphabetagamma)) mit B (Alpha-Beta-Gamma) Alpha-Beta-Beta-Gamma-Gamma (1 (Alphabetagamma)) Die Einheitskostenfunktion c (wL, wK, wM) sieht interessanterweise wie ihr Elternteil das Cobb - Douglas-Produktionsfunktion. Die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion heißt homothetisch. Weil die Cobb-Douglas-Kostenfunktion in eine Funktion des Outputs, q, mal einer Funktion der Inputpreise, wL, wK und wM, abgetrennt (factored) werden kann. VIII. Faktorbedarfsfunktionen: Wenn wir die Ableitung der Kostenfunktion in Bezug auf einen Inputpreis ableiten, erhalten wir für diesen Input die Faktoranforderungsfunktion: partCpartwL h (q) (alpha wL) c (wL, wK, wM) (alpha beta (& Gamma; WM) c (wL, wK, wM) (alpha beta gamma) M IX . Eigenschaften der Einheit Cobb-Douglas Kostenfunktion, c (wL, wK, wM). ein. C ist zu Faktorpreisen linear homogen. C (twL, twK, twM) B (twL) alpha (twK) beta (twM) gamma (1 (alphabetagamma)) b. C ist zu Faktorpreisen konkav. Prüfen Sie, ob das Hessische für die Funktion c negativ (halb) definiert ist. X. Elastizität der Substitution zwischen Eingaben (Sigma). Aus Gleichung e. Erhalten wir: KL (beta alpha) (wl wK) 8594 ln (KL) ln (betaalpha) ln (wLwK) sigma d (ln (KL)) d (ln (wLwK)) 1 XI. Negativ definitiv: Der Hessische, H, einer Funktion, f ist negativ, wenn die Hauptminoren von H im Zeichen abwechseln, beginnend mit negativ. Wenn ein (oder mehrere) Hauptminderjährige einen Nullwert haben, ist f negativ semidefinit. Für die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion:
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